Question

某商店经营一种精美首饰，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件首饰的售价不能高于40元．设每件首饰的销售单价上涨了x元，月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件首饰的售价定为多少元时，月销售利润恰为2730元？
（3）每件首饰的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式；
（2）当y=2730时代入（1）的解析式就可以求出结论；
（3）根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）依题意得：
y=（30-20+x）（240-10x）
y=-10x²+140x+2400．
∵每件首饰售价不能高于40元．
∴0≤x≤10．
答：求y与x的函数关系式为：y=-10x²+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10；
（2）当y=2730时，
-10x²+140x+2400=2730
∴x²-14x+33=0，
∴x₁=3，x₂=11，
∵0≤x≤10，
∴x=3，
∴当x=3时，30+x=33．
答：每件首饰的售价定为33元时月销售利润恰好为2730元；
（3）∵y=-10x²+140x+2400．
∴y=-10（x-7）²+2890．
∴a=-10＜0．
∴当x=7时，y_最大=2890．
∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．
答：每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．

点评：本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．