Question

8．如图，C为∠AOB的边OB上一点，OC=10，N为边OA上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OB交OA于点Q，PM∥OA交OB于点M．
（1）若OM=6，OQ=2，求ON的长；
（2）若点N在边OA上运动时，始终保持PQ=OQ．
①问：$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值是否发生变化？请说明理由；
②设四边形OMPQ的面积为S₁，△OCN的面积为S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出CM=4，由平行线证出△MPC∽△ONC，得出$\frac{MP}{ON}=\frac{MC}{OC}$，证出四边形OMPQ为平行四边形，得出PM=OQ=2，代入比例式即可求出ON的长；
（2）设PQ=OQ=x，①证出四边形OQPM是菱形，得出OM=x，MC=10-x，由（1）得：$\frac{MP}{ON}=\frac{MC}{OC}$，得出$\frac{1}{ON}=\frac{10-x}{10x}$，求出$\frac{1}{OM}-\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{10}$即可；
②由平行线证出△PMC∽△NOC，△NQP∽△NOC，∴得出$\frac{{S}_{△PMC}}{{S}_{△NOC}}$=$\frac{（10-x）^{2}}{100}$，$\frac{{S}_{△NQP}}{{S}_{△NOC}}$=$\frac{{x}^{2}}{100}$，得出S₁=S_△NOC-S_△PMC-S_△NQP=$\frac{-{x}^{2}+10x}{50}$S₂，求出$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{-{x}^{2}+10x}{50}$=-$\frac{1}{50}$（x-50）²+$\frac{1}{2}$，即可得出结果．

解答 解：（1）∵OM=6，OC=10，
∴CM=4，
∵MP∥OA，
∴△MPC∽△ONC，
∴$\frac{MP}{ON}=\frac{MC}{OC}$，
∵PQ∥OB，PM∥OA，
∴四边形OMPQ为平行四边形，
∴PM=OQ=2，
∴$\frac{2}{ON}=\frac{4}{10}$，
∴ON=5；
（2）设PQ=OQ=x，
①$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不发生变化，理由如下：
∵PQ∥OB，PM∥OA，PQ=OQ=x，
∴四边形OQPM是菱形，
∴OM=x，MC=10-x，
由（1）得：$\frac{MP}{ON}=\frac{MC}{OC}$，
∴$\frac{x}{ON}=\frac{10-x}{10}$，
∴$\frac{1}{ON}=\frac{10-x}{10x}$，
∴$\frac{1}{OM}-\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{10-x}{10x}$=$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不发生变化；
②∵PQ∥OB，PM∥OA，
∴△PMC∽△NOC，△NQP∽△NOC，
∴$\frac{{S}_{△PMC}}{{S}_{△NOC}}$=（$\frac{MC}{OC}$）²=$\frac{（10-x）^{2}}{100}$，$\frac{{S}_{△NQP}}{{S}_{△NOC}}$=（$\frac{QP}{OC}$）²=$\frac{{x}^{2}}{100}$，
∴S₁=S_△NOC-S_△PMC-S_△NQP=${S}_{2}-\frac{（10-x）^{2}}{100}{S}_{2}-\frac{{x}^{2}}{100}{S}_{2}$=$\frac{-{x}^{2}+10x}{50}$S₂，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{-{x}^{2}+10x}{50}$=-$\frac{1}{50}$（x-50）²+$\frac{1}{2}$，
∵0＜x＜10，
∴0＜$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$≤$\frac{1}{2}$．

点评 此题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．