Question

2．已知关于x的一元二次方程x²-2（m-1）x+（m²-1）=0有两个不相等的实数根α，β，若α²+β²=4，则m=2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据方程x²-2（m-1）x+（m²-1）=0有两个不相等的实数根α，β，得出α+β=2（m-1），αβ=m²-1，△=[-2（m-1]²-4（m²-1）＞0，再根据α²+β²=4，得出[2（m-1）]²-2（m²-1）=4，最后求出符合题意的m的值即可．

解答 解：∵方程x²-2（m-1）x+（m²-1）=0有两个不相等的实数根α，β，
∴α+β=2（m-1），αβ=m²-1，△=[-2（m-1]²-4（m²-1）＞0，
∴m＜1
∵α²+β²=4，
∴（α+β）²-2αβ=4，
∴[2（m-1）]²-2（m²-1）=4，
∴m²-4m+1=0，
∴m=±$\sqrt{3}$+2，
∴m₁=$\sqrt{3}+$2（舍去），m₂=2-$\sqrt{3}$；
故答案为：2-$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了根与系数的关系和根的判别式，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，注意把不合题意的解舍去．