Question

10．如图，在矩形ABCD中，AB=3，点P是直线AD上一点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AD的长为3或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 要求直线AD上满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当AB=AD时；②当AB＜AD时，③当AB＞AD时．

解答 解：①如图，当AB=AD时

满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P₁BC，△P₂BC是等腰直角三角形，△P₃BC是等腰直角三角形（P₃B=P₃C），
则AB=AD=3．

②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，

易知P₂是AD的中点，BC=BP₁=BP₂=CP₂=CP₃，
此时易知△P₂BC是等边三角形，
在Rt△ABP₂中，∵AB=3，∠ABP₂=30°，
∴AP₂=AB•tan30°=$\sqrt{3}$，
∴BC=AD=2AP₂=2$\sqrt{3}$
③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．
故答案为：3或2 $\sqrt{3}$．

点评 本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．