Question

【题目】有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与（k≠0）的图象性质．

小明根据学习函数的经验，对函数与（k≠0），当k＞0时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数与图象的交点为A、B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），则B点的坐标为　 　；

（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．

①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN．

证明过程如下，设P（m，），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）．

则，解得：，

∴直线PA的解析式为　 　.

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．

Answer 1

【答案】(1) B（k，1）;(2)①见解析;②1﹣k2.

【解析】

（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标；
（2）①设，根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PH⊥x轴于H，由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM=PN；
②根据①结合PH、MH、NH的长度，可得出△PAB为直角三角形，分k>1和0<k<1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积．

(1)由正、反比例函数图象的对称性可知，点A. B关于原点O对称，

∵A点的坐标为(k,1)，

∴B点的坐标为(k,1).

故答案为：(k,1).

（2）)①证明过程如下,设,直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).

则

解得：

∴直线PA的解析式为

当y=0时，x=mk，

∴M点的坐标为(mk,0).

过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，

∵P点坐标为，

∴H点的坐标为（m，0），

∴MH=xH﹣xM=m﹣（m﹣k）=k．

同理可得：HN=k．

∴MH=HN，∴PM=PN．

②由①可知，在△PMN中，PM=PN，∴△PMN为等腰三角形，且MH=HN=k．

当P点坐标为（1，k）时，PH=k，∴MH=HN=PH，

∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，

∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，∴△PAB为直角三角形．

当k＞1时，如图1，

S△PAB=S△PMN﹣S△OBN+S△OAM，

=MNPH﹣ONyB+OM|yA|，

=×2k×k﹣（k+1）×1+（k﹣1）×1，

=k2﹣1；

当0＜k＜1时，如图2，

S△PAB=S△OBN﹣S△PMN+S△OAM，

=ONyB﹣k2+OM|yA|，

=（k+1）×1﹣k2+（1﹣k）×1，

=1﹣k2．