Question

【题目】已知：在四边形中，对角线相交于点，且，作，垂足为点，与交于点，.

（1）如图中的图1，求证：；

（2）如图中的图2，是的中点，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请找出图中的四个三角形，使得每个三角形的面积都等于面积的倍，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），见解析.

【解析】

（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△BCE、S△BHG，从而得出答案．

解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD；

设，则，，

，

是的中线，

，

，

，

则

在和中，

,

，

综上，面积等于△ADE面积的倍的三角形有：△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．