Question

如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y=2ax²-6ax+6与y轴的公共点为A，点B、C在此抛物线上，AB∥x轴，∠AOB=∠COx，OC=2

5

．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入求出A的坐标，把y=6代入求出B的坐标，根据勾股定理和锐角三角函数求出OB，sin∠AOB，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，根据∠AOB=∠COD，求出CD=2，根据勾股定理求出OD=4，得出C的坐标；
（2）把C的坐标代入求出a，化成顶点式即可求出答案．

解答：解：（1）A（0，6），
∵AB∥x轴，
∴点B的纵标为6，
∴6=2ax²-6ax+6，
∵a≠0，
∴x₁=0，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，6），
∴OB=

32+62

=3

5

，
sin∠AOB=

AB

OB

=

3

3 5

=

1

5

，
过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵∠AOB=∠COD，
CD=OC•sin∠COD=OC•sin∠AOB=2

5

•

1

5

=2，
∴OD=

OC2-CD2

=

20-4

=4，
∴C（4，2），
答：A、B、C的坐标分别为（0，6），（3，6），（4，2）．

（2）∵点C在此抛物线上，
∴2=2a•16-6a•4+6，
∴a=-

1

2

，
∴抛物线为y=-x²+3x+6，
∵y=-(x2-3x+

9

4

)+

9

4

+6=-(x-

3

2

)2+

33

4

，
∴抛物线的顶点坐标为（

3

2

，

33

4

），
答：抛物线的顶点坐标为（

3

2

，

33

4

）．

点评：本题主要考查对解一元一次方程，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，锐角三角函数的定义，二次函数的三种形式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．