Question

如图：在直角坐标系中放入一边长OC为6的矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知tan∠OB′C=

3

4

．
（1）求出B′点的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式；
（3）作B′G∥AB交CE于G，已知抛物线y=

1

8

x²-

14

3

通过G点，以O为圆心OG的长为半径的圆与抛物线是否还有除G点以外的交点？若有，请找出这个交点坐标．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形COB′中，根据OC的长和∠OB′C的正切值即可求出OB′的长，也就求了B′的坐标；
（2）本题的关键是求出E点的坐标．在直角三角形COB′中，根据勾股定理可求出B′C的长，根据折叠的性质：B′C=BC也就得出了BC、OA的长．即可求出AB′的长，在直角三角形AB′E中，设AE=x，那么B′E=BE=OC-AE=6-x，因此可根据勾股定理求出AE的长，即可得出E点坐标，然后用待定系数法即可求出直线CE的解析式；
（3）由于圆心在y轴上，而题中给出的抛物线的对称轴也是y轴，根据抛物线和圆的对称性可知：G点关于y轴的对称点必在抛物线上，因此可先根据B′的坐标和直线CE的解析式求出G点的坐标，进而可求出G′的坐标．

解答：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB'C=

OC

OB′

=

3

4

，OC=6，
∴OB′=8，
∴点B′（8，0）；

（2）由已知得：△CBE≌△CB′E，
∴BE=B′E，CB′=CB=OA，
CB′=

OB′2+OC2

=10．
设AE=n，则EB′=EB=6-n，AB′=AO-OB′=10-8=2．
∴n²+2²=（6-n）²，
得n=

8

3

．
∴E（10，

8

3

），C（0，6）．
设直线CE的解析式y=kx+b，
根据题意得

6=b 8 3 =10k+b

解得：

b=6 k=- 1 3

CE所在直线的解析式：y=-

1

3

x+6；

（3）设G（8，a），
∵点G在直线CE上，
∴a=-

1

3

×8+6=

10

3

．
∴G（8，

10

3

）．
∵以O点为圆心，以OG为半径的圆的对称轴是y轴，
抛物线y=

1

8

x²-

14

3

的对称轴也是y轴．
∴除交点G外，另有交点H，H是G点关于y轴的对称点．
其坐标为H（-8，

10

3

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、图形翻折变换、抛物线和圆的对称性等知识点，综合性较强．