Question

12．如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=$\sqrt{3}$+1，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据作图以及公共边，运用SSS可以证明△ABC≌△ADC；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证明△AEB是直角三角形，根据△BCE是等腰直角三角形，可得BE=CE，最后设BE=CE=x，则AE=$\sqrt{3}$x，依据AC=$\sqrt{3}$+1，列出方程求解即可．

解答 解：（1）在△ABC与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AB=AD，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∵∠BAC=30°，
∴AE=$\sqrt{3}$BE，
又∵∠BCA=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE，
设BE=CE=x，则AE=$\sqrt{3}$x，
∵AC=$\sqrt{3}$+1，
∴$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{3}$+1，
解得x=1，
∴BE=1．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质的运用，解题时注意：三条边分别对应相等的两个三角形全等．