Question

6．已知a，b，c分别为△ABC的 三边长，当m＞0时，关于x的一元二次方程c（x²+m）+b（x²-m）-2$\sqrt{m}$ax=0有两个相等的实数根，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 先将原方程变形为一元二次方程的标准式，再根据该方程有两个相等的实数根得出△=0，代入数据即可得出a²+b²-c²=0，由此即可证出结论．

解答 证明：方程c（x²+m）+b（x²-m）-2$\sqrt{m}$ax=0可变形为（b+c）x²-2$\sqrt{m}$ax+cm-bm=0，
∵当m＞0时，关于x的一元二次方程c（x²+m）+b（x²-m）-2$\sqrt{m}$ax=0有两个相等的实数根，
∴△=$（-2\sqrt{m}a）^{2}$-4（b+c）（cm-bm）=4m（a²+b²-c²）=0．
∵m＞0，
∴a²+b²-c²=0，
∵a，b，c分别为△ABC的三边长，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了根的判别式以及勾股定理的逆运用，解题的关键是根据△=0找出a²+b²-c²=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．