题目内容
18．如图，将矩形ABCD沿AH折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．折痕与边BC交于点 H，已知AD=8，HC：HB=3：5．
（1）求证：△HCP∽△PDA；
（2）探究AB与HB之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）连结BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
分析 （1）先利用等角的余角相等得出∠APD=∠PHC，即可得出结论；
（2）先求出HC=3，HB=5，进而得出HP=5，再用勾股定理求出PC，最后用△HCP∽△PDA得出的比例式即可得出结论；
（3）先判断出MQ=BN，进而得出QF=FB，再判断出EF=$\frac{1}{2}$PB，最后用勾股定理求出PB即可得出结论．
解答 解：（1）由折叠的性质可知，
∠APH=∠B=90°，
∴∠APD+∠HPC=90°，
又∠PHC+∠HPC=90°，
∴∠APD=∠PHC，
又∠D=∠C=90°，
∴△HCP∽△PDA；
（2）AB=2BH．
∵HC：HB=3：5，
设HC=3x，则HB=5x，
在矩形ABCD中，BC=AD=8，
∴HC=3，则HB=5
由折叠的性质可知，HP=HB=5，AP=AB，
在Rt△HCP，根据勾股定理得，PC=4，
由（1）知，△HCP∽△PDA
∴$\frac{AD}{AP}=\frac{CP}{HP}$，
∴AP=$\frac{8×5}{4}$=10，
∴AB=AP=10=2BH，即AB=2BH．
（3）EF的长度不变．
如图，作MQ∥AB交PB于Q，
∴∠MQP=∠ABP，
由折叠的性质可知，∠APB=∠ABP，
∴∠MQP=∠APB，
∴MP=MQ，又BN=PM，
∴MQ=BN，
∵MQ∥AB，
∴$\frac{QF}{FB}=\frac{MQ}{BN}$，
∴QF=FB，
∵MP=MQ，ME⊥BP，
∴PE=QE，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB，
由（2）得，PC=4，BC=8，
∴PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$．
点评 此题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠APD=∠PHC，解（2）的关键是求出AP，解（3）的关键是判断出MQ=BN，QF=FB，是一道中等难度的中考常考题．
| A． | a3+a2=a5 | B． | x2y÷y=x2 | C． | x2÷x3=$\frac{1}{x}$ | D． | D、a6÷a4=a2 |
如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E，试说明AD∥BC．
如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，E为AD边上一动点（不与点A重合），AF⊥BE，垂足为F，GF⊥CF，交AB于点G，连接EG．设AE=x，S△BEG=y．