题目内容

3．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=$\frac{1}{2}$AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．
（1）问题发现
①当θ=0°时，$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$；
②当θ=180°时，$\frac{BE}{CD}$=$\sqrt{2}$．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤θ＜360°时，$\frac{BE}{CD}$的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决
①在旋转过程中，BE的最大值为2$\sqrt{2}$+2；
②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为$\sqrt{3}$+1或$\sqrt{3}$-1．

分析 （1）①先判断出DE∥CB，进而得出比例式，代值即可得出结论；
②先得出DE∥BC即可得出，$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，再用比例的性质即可得出结论；
（2）先∠CAD=∠BAE，进而判断出△ADC∽△AEB即可得出结论；
（3）分点D在BE的延长线上和点D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）结论即可得出CD．

解答 解：（1）①当θ=0°时，
在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，AB=2$\sqrt{2}$，
∵AD=DE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴∠AED=∠A=45°，
∴∠ADE=90°，
∴DE∥CB，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BE}{AB}$，
∴$\frac{CD}{2}=\frac{BE}{2\sqrt{2}}$，
∴$\frac{BE}{CD}=\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$，

②当θ=180°时，如图1，
∴DE∥BC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{AE+AB}{AB}=\frac{AD+AC}{AC}$，
即：$\frac{BE}{AB}=\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$；

（2）当0°≤θ＜360°时，$\frac{BE}{CD}$的大小没有变化，
理由：∵∠CAB=∠DAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴△ADC∽△AEB，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$；
（3）①当点E在BD的延长线时，BE最大，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{2}$AD=2，
∴BE最大=AB+AE=2$\sqrt{2}$+2；
②如图2，

当点E在BD上时，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，根据勾股定理得，DB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BE=BD+DE=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
由（2）知，$\frac{BE}{CD}=\sqrt{2}$，
∴CD=$\frac{BE}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$+1，
如图3，

当点D在BE的延长线上时，
在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$，根据勾股定理得，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BE=BD-DE=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
由（2）知，$\frac{BE}{CD}=\sqrt{2}$，
∴CD=$\frac{BE}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$+1或$\sqrt{3}$-1．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，比例的基本性质，解（1）的关键是得出DE∥BC，解（2）的关键是判断出△ADC∽△AEB，解（3）关键是作出图形求出BD，是一道中等难度的题目．

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