Question

如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．

1.求抛物线的解析式及顶点D的坐标

2.判断△ABC的形状，证明你的结论；

3.点M(m，0)是x轴上的一个动点， 当CM+DM的值最小时，求m的值．

 

Answer 1

 

1.∵点A（-1，0）在抛物线y=x² + bx-2上，

∴× (-1 )² + b× (-1) –2 = 0，解得b =………………………………….（1分）

∴抛物线的解析式为y=x²-x-2.y=x²-x-2= (x² -3x- 4 ) =(x-)²-,

∴顶点D的坐标为 (,-).………………………………….（4分）

2.当x = 0时y = -2,       ∴C（0，-2），OC = 2。

当y = 0时，  x²-x-2= 0，      ∴x₁ = -1, x₂= 4,     ∴B (4,0)

∴OA =1,    OB = 4,    AB = 5.

∵AB² = 25,    AC² = OA² + OC² =5,    BC² = OC² + OB² = 20,

∴AC² +BC² = AB².               

∴△ABC是直角三角形. ………………………………….（8分）

3.作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。

 

 

设直线C′D的解析式为y = kx + n ,

则，解得n = 2,  .

∴ .

∴当y = 0时，，

 .     ∴.………………………………….（11分）

 解析:略