题目内容

已知如图,抛物线y=x2+(k2+1)x+k+1的对称轴是直线x=-1,且顶点在x轴上方.设M是直线x=-1左侧抛物线上的一动点,过点M作x轴的垂线MG,垂足为G,过点M作直线x=-1的垂线MN,垂足为N,直线x=-1与x轴的交于H点,若M点的横坐标为x,矩形MNHG的周长为l.
(1)求出k的值;
(2)写出l关于x的函数解析式;
(3)是否存在点M,使矩形MNHG的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据对称轴公式得到关于k的方程,解方程即可求解;
(2)先用x表示出M点的坐标,根据两点之间的距离公式得到MG,GH;再根据矩形的周长公式即可得到l关于x的函数解析式;
(3)先将l关于x的函数解析式配方,得到x的值,代入抛物线解析式即可得到使矩形MNHG的周长最小时点M的坐标.
解答:解:(1)对称轴:x=-
b
2a
=-
k2+1
2
=-1,
则k2+1=2,
解得k=±1,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴k+1>0,
则k=1;

(2)由(1)得抛物线解析式为:y=x2+2x+2
∵M点的横坐标为x,M点在抛物线上,
∴M点的纵坐标为x2+2x+2,
MG=x2+2x+2,
又∵对称轴是直线x=-1
∴GH=|x|-|-1|
由题知,M是直线x=-1左侧,
∴GH=-x-1,
∴矩形MNHG的周长为l=2(GH+MG)=2(-x-1+x2+2x+2)=2(x2+x+1);

(3)矩形MNHG的周长为l=2(x2+x+
1
4
-
1
4
+1)=2[(x+
1
2
2+
3
4
]=2(x+
1
2
2+
3
2

当x=-
1
2
时,矩形MNHG的周长为l有最小值
3
2
,此时点M的坐标为(-
1
2
,(-
1
2
2+2×(-
1
2
)+2),即(-
1
2
,1
1
4
).
点评:本题考查的是二次函数的综合题,涉及的知识点有:抛物线的对称轴公式,两点之间的距离公式,矩形的周长公式,配方法求最值问题,综合性较强,难度中等.
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