如图1.已知抛物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F.与y轴负半轴交于点E.边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合.顶点A与点E重合.顶点C与点F重合．(1)求抛物线的函数表达式,(2)如图2.若正方形ABCD在平面内运动.并且边BC所在的直线始终与x轴垂直.抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时.点P不与A.B两点重合.点Q不与C.D两点重� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图1，已知抛物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴负半轴交于点E（0，-16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合）．设点A的坐标为（m，n）（m＞0），
①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，m的取值范围是

；
③当n=-7时，是否存在m的值使点P为AB边中点？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-直接开平方法,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式,等腰三角形的性质,正方形的性质

专题：综合题

分析：（1）用待定系数法就可求出抛物线的解析式．
（2）①过点P作PG⊥x轴，垂足为G，根据等腰三角形的三线合一可得到点P的横坐标，代入抛物线的解析式就可求出点P的坐标；由条件可以得到y_Q-y_P=16，从而求出点Q的纵坐标，代入抛物线的解析式就可求出点Q的坐标；②由于抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q，只需考虑点C、点A左右平移到抛物线上时对应的m的值，就可得到m的范围；③假设存在，由n=-7即y_P=-7可以求出x_P，由点P是AB的中点可求出此时m的值，从而得到正方形四个顶点以及点Q的坐标，此时点Q与点C重合，与条件矛盾，故不存在．

解答：

解：（1）如图1，
由抛物线y=ax²+c经过点F（16，0）、点E（0，-16）得：

a•162+c=0

c=-16

，
解得：

c=-16

，
∴抛物线的解析式为y=

x²-16．

（2）①过点P作PG⊥x轴，垂足为G，如图2，
∵PO=PF，∴OG=FG．
∵F（16，0），∴OF=16．
∴OG=

OF=8，即x_P=8．
∵点P在抛物线上，
∴y_P=

×8²-16=-12．

∴点P的坐标为（8，-12）．
∵四边形ABCD是边长为16的正方形，
BC⊥x轴，A的坐标为（m，n）（m＞0），
∴y_Q=y_C=y_D，y_P=y_A=y_B=n，
x_A=x_D=m，y_D-y_A=x_C-x_D=16．
∴y_Q-y_P=16．
∴y_Q=4．
∴

x_Q²-16=4．
解得：x_Q=±8

．（舍负）
∴点Q的坐标为（8

，4）．
②当点C移动到点（8

，4）时，8

-m=16．
解得：m=8

-16．
当点A移动到点（8，-12）时，m=8．
∵抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q，
（运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合）
∴m的范围是8

-16＜m＜8．
故答案为：8

-16＜m＜8．
③当n=-7时，不存在m使点P为AB边中点．
证明：（反证法）假设存在m使点P为AB边中点，
由n=-7得y_P=-7，则有

x_P²-16=-7．
解得：x_P=±12．（舍负）
故x_P=12．
∵点P为AB边中点，∴AP=BP=

AB=8．
∴x_P-x_A=8，即12-m=8．
解得：m=4．
此时A（4，-7），B（20，-7），C（20，9），D（4，9）．
由

x²-16=9得x=±20（舍负），则Q（20，9）．
此时点Q与点C重合．
与条件“运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合”矛盾，
所以假设不成立．
所以当n=-7时，不存在m使点P为AB边中点．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象上的点的坐标特征、正方形的性质、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，有一定的综合性．在解答的过程中采用了临界值法求m的范围，采用了反证法证明“当n=-7时，不存在m使点P为AB边中点．”在解决最后一个问题的过程中，可能会产生因没有验证而认为存在的错误，有利于培养学生良好的学习习惯，有利于形成科学的学习态度，是一条好题．