如图(1).等边三角形ABC的边长为8.点P由点B开始沿BC以每秒1个单位长的速度作匀速运动.到点C后停止运动,点Q由点C开始沿C-A-B以每秒2个单位长的速度作匀速运动.到点B后停止运动．若点P.Q同时开始运动.运动的时间为t．(1)当t=4秒时.指出点P.Q的位置．(2)当点P.Q运动时.求△PCQ的面积S与t的函数关系式.并指出自变量t的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图（1），等边三角形ABC的边长为8，点P由点B开始沿BC以每秒1个单位长的速度作匀速运动，到点C后停止运动；点Q由点C开始沿C-A-B以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B后停止运动．若点P，Q同时开始运动，运动的时间为t（秒）（t＞0）．
（1）当t=4秒时，指出点P，Q的位置．
（2）当点P、Q运动时，求△PCQ的面积S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
（3）当点Q在CA边上运动时，是否存在某个时刻t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）当点Q在AB边上运动时，是否存在某个时刻t，使得四边形AQPC为等腰梯形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）先根据速度公式计算出当t=4秒时PB和CQ的长，然后根据等边三角形ABC的边长为8判断点P，Q的位置；
（2）分两种情况讨论：当0＜t≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，则BP=t，PC=8-t，CQ=2t，在Rt△CDQ中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DC=

CQ=t，
QD=

CD=

t，然后根据三角形面积公式得到S=

QD•PC=-

t²+4

t；
②当4＜t＜8，作QD⊥BC于D，如图2，则BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，BQ=16-2t，在Rt△BDQ中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BD=

BQ=8-t，
QD=

BD=

（8-t），然后根据三角形面积公式得到S=

QD•PC=

t²-8

t+32

；
（3）分类讨论：当∠PQC=90°时，PC=8-t，CQ=2t，利用含30度的直角三角形三边的关系得到PC=2CQ，则8-t=2•2t，然后解方程求出t；
当∠CPQ=90°时，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CQ=2PC，则2t=2•（8-t），然后解方程求出t；
（4）由于当PQ∥AC时，四边形AQPC为梯形，加上∠A=∠C=60°，于是可判断此时四边形AQPC为等腰梯形，得到△BPQ为等边三角形，所以BQ=BP，则16-2t=t，然后解方程求出t的值．

解答：解：（1）当t=4秒时，PB=4×1=4，CQ=4×2=8，
而等边三角形ABC的边长为8，

所以点P为BC边的中点，点Q运动到点A；
（2）①当点Q在CA上运动时，即0＜t≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，
BP=t，PC=8-t，CQ=2t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
在Rt△CDQ中，DC=

CQ=t，

∴QD=

CD=

t，
∴S=

QD•PC=

•

t•（8-t）=-

t²+4

t，
即△PCQ的面积S与t的函数关系式为S=-

t²+4

t（0＜t≤4）；
②当点Q在AB上运动时，即4＜t＜8，作QD⊥BC于D，如图2，
BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，则BQ=16-2t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BDQ中，BD=

BQ=

（16-2t）=8-t，
∴QD=

BD=

（8-t），
∴S=

QD•PC=

•

（8-t）•（8-t）=

t²-8

t+32

，
即△PCQ的面积S与t的函数关系式为S=

t²-8

t+32

（4＜t＜8）；
（3）存在．PC=8-t，CQ=2t，
①当∠PQC=90°时，
∵∠C=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴PC=2CQ，即8-t=2•2t，解得t=1.6；
②当∠CPQ=90°时，则CQ=2PC，即2t=2•（8-t），解得t=4；
综上所述，当t=1.6或4秒时，△PCQ为直角三角形；
（4）存在．
当PQ∥AC时，四边形AQPC为梯形，
∵∠A=∠C=60°，
∴此时四边形AQPC为等腰梯形，
∴△BPQ为等边三角形，
∴BQ=BP，即16-2t=t，解得t=

，
即当t=

秒时，四边形AQPC为等腰梯形．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等边三角形的性质、等腰梯形的判定定理；会运用含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式进行几何计算；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决有关动点的问题．