Question

20．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2$\sqrt{2}$．求BC边上的高及△ABC的面积．

Answer 1

分析 先根据AD⊥BC，∠C=45°得出△ACD是等腰直角三角形，再由AC=2$\sqrt{2}$得出AD及CD的长，由∠B=30°求出BD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：∵AD⊥BC，∠C=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AD=CD．
∵AC=2$\sqrt{2}$，
∴2AD²=AC²，即2AD²=8，解得AD=CD=2．
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=4，
∴BD=$\sqrt{{AB}^{2}-{AD}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC=BD+CD=2$\sqrt{3}$+2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+2）×2=2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．