Question

如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．

（1）底面的长AB=cm，宽BC=cm（用含x的代数式表示）

（2）当做成盒子的底面积为300cm²时，求该盒子的容积．

（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．

．

Answer 1

 解：（1）∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，

设小正方形的边长为xcm，

∴底面的长AB=（50﹣2x）cm，宽BC=（30﹣2x）cm，

故答案为：50﹣2x，30﹣2x；

（2）依题意，得：

（50﹣2x）（30﹣2x）=300

整理，得：x²﹣40x+300=0

解得：x₁=10，x₂=30（不符合题意，舍去）

当x₁=10时，盒子容积=（50﹣20）（30﹣20）×10=3000（cm³）；

（3）盒子的侧面积为：

S=2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）

=100x﹣4x²+60x﹣4x²

=﹣8x²+160x=﹣8（x²﹣20x）

=﹣8[（x﹣10）²﹣100]

=﹣8（x﹣10）²+800

∵﹣8（x﹣10）²≤0，

∴﹣8（x﹣10）²+800≤800，

∴当x=10时，S有最大值，最大值为800．