Question

6．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知点A（0，2）和点B（1，0），以AB为直角边作Rt△ABC，且AC∥x轴． 
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+2的对称轴为AC的中垂线．
①求b的值；
②将抛物线向上平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）过点C作CH⊥x轴于H，根据AC∥x轴得到CH=OA=2，根据∠OAB+∠ABO=90°，得到∠CBH=∠OAB，利用tan∠CBH=$\frac{2}{BH}$=tan∠OAB=$\frac{1}{2}$，求得BH=4，即可求得点C的坐标；
（2）①根据对称轴确定待定系数的b的值即可；
②根据二次函数解析式求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后求出与对称轴的交点坐标，再根据平移的性质确定出n的取值范围即可．

解答 （1）如图，过点C作CH⊥x轴于H，
∵AC∥x轴，
∴CH=OA=2，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBH+∠ABO=90°，
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠CBH=∠OAB，
∴tan∠CBH=$\frac{2}{BH}$=tan∠OAB=$\frac{1}{2}$，
∴BH=4，
∴C（5，2）；

（2）①∵线段AC中点坐标为（2.5，2）
∴x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{b}{2×\frac{1}{2}}$=2.5，
即b=-2.5；

②∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2.5x+2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，
∴顶点坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{8}$），
由（2）得，点C（5，2），B（1，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∵二次函数的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{3}{4}$-（-$\frac{9}{8}$）=$\frac{15}{8}$，2-（-$\frac{9}{8}$）=$\frac{25}{8}$
∴当抛物线的顶点落在△ABC的内部时$\frac{15}{8}$＜m＜$\frac{25}{8}$．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了根的判别式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式以及配方法，（1）根据与x轴的交点的横坐标是整数判断出k的值是解题的关键，（2）求出直线BC与对称轴的交点是解题的关键，作出图形更形象直观．