Question

如图，中，，，过点作∥，点、分别是射线、线段上的动点，且，过点作∥交线段于点，联接，设面积为，．

（1）用的代数式表示；
（2）求与的函数关系式，并写出定义域；
（3）联接，若与相似，求的长．

Answer 1

（1） （2） （3）

试题分析：（1）∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形               
∴，                 
,                
可得                           
（2）∵，
∴∠∠
又∠ =∠，∠=∠，
∴∠=∠，
∴
∴当时，；                           
作，，垂足分别为点、，

则易得，，，
由∠=∠，∠=∠
得△∽△
∴，
∴，
∴                              
                                        
所以与的函数关系式是
                            
（3）【解法一】当时
由，，∠∠
可得△≌△，于是         
由于∠∠，
所以若△与△相似，
只有△∽△
可得                                 
于是得，解得                
同理当，可得（不合题意，舍去）   
所以，若△与△POQ相似，AP的长为。
【解法二】当时，可得，
于是得,
                           
由于∠=∠，
所以若△与△相似，只有△∽△
                                  

解得，（不合题意，舍去）          
所以，若△与△相似，的长为      
点评：本题考查求函数的关系式和相似三角形的证明，要求考生会求函数的关系式，以及相似三角形的证明方法