Question

如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，点D、E是直线BC上两点且CD=BE，过点C作CM⊥AE交AE于点M，交AB于点F，连接DF并延长交AE于点N．
（1）若AC=2，CD=1，求CM的值；
（2）求证：∠D=∠E．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据题意可求AC，CE，根据勾股定理可得AB的长，再根据三角形的面积公式即可得到CM的值；
（2）过点B作BH⊥CB交CM的延长线于点H．通过ASA证明△ACE≌△CBH，得到∠E=∠H，通过SAS证明△DBF≌△HBF，得到∠D=∠H，依此即可求解．

解答：解：（1）∵CD=BE，CD=1，
∴BE=1，
又∵AC=CB=2，
∴CE=CB+BE=3，
在Rt△AEC中，AE=

22+32

=

13

，
∴CM=

6

13

=

6 13

13

；
（2）过点B作BH⊥CB交CM的延长线于点H．
∴∠HBC=∠CMA=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠ACM+∠ECM=90°
∴∠CAM=∠ECM，
又∵BH⊥CB，
∴∠CBH=90°，
在△ACE和△CBH中，

∠CAE=∠BCH AC=BC ∠ACE=∠CBH

，
∴△ACE≌△CBH（ASA），
∴CE=BH，∠E=∠H，
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CBF=45°，
又∵∠CBH=90°，
∴∠FBH=45°，
∴∠FBH=∠CBF，
在△DBF和△HBF中，

DB=HB ∠DBF=∠HBF BF=BF

，
∴△DBF≌△HBF（SAS），
∴∠D=∠H=∠E．

点评：考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，以及等腰直角三角形的性质，综合性较强，有一定的难度．