Question

如图，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB=1，则四边形ABCD的面积的最大值是

3 3

4

．

Answer 1

分析：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，根据垂线段线段最短可知HF＜OH，再由梯形的中位线定理可知，HF=

1

2

（AE+BG），进而可得出结论．

解答：解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，
∵AB=1，⊙O的半径=1，
∴OH=

3

2

，
∵垂线段最短，
∴HF＜OH，
∴HF=

1

2

（AE+BG），
∴S_{四边形ABCD}=S_△AOC+S_△AOB+S_△BOD=

1

2

×1×AE+

1

2

×1×

3

2

+

1

2

×1×BG
=

1

2

AE+

3

4

+

1

2

BG
=

1

2

（AE+BG）+

3

4

=HF+

3

4

≤OH+

3

4

=

3

2

+

3

4

=

3 3

4

．
故答案为：

3 3

4

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．