Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=10，点E、F是矩形内两点，BE=DF=3，AE=CF=4，AE的延长线与DF的延长线交于点H，BE的延长线与CF的延长线交于点G，
（1）求证：四边形EHFG是矩形；
（2）求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理得到∠GEH=∠AEB=90°，同理∠GFH=90°，根据全等三角形的性质得到∠DCG=∠BAH，根据余角的性质得到∠BAH=∠GAH=∠DCG，求得∠GEH=∠BGC=∠GFH=90°，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．

解答 （1）∵矩形ABCD中，AB=5，BE=3，AE=4，
∴AB²=AE²+BE²，
∴∠GEH=∠AEB=90°，同理∠GFH=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
在△ABE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{BE=DF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠DCG=∠BAH，
∵∠BAH+∠GAE=∠BAH+∠GAH=90°，
∴∠BAH=∠GAH=∠DCG，
∴∠CGD+∠AGB=90°，
∴∠BGC=90°，
∴∠GEH=∠BGC=∠GFH=90°，
∴四边形EHFG是矩形；
（2）∵∠AHD=∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠DAH=∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠BAE=∠ADH，
∴△ABE∽△ADH，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{DH}$=$\frac{BE}{AH}$，
∴AH=6，DH=8，
∴EH=2，HF=5，
∴EF=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，射影定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．