Question

3．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），若AE=1，试求AB的长；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2这种情况下，求证AE+CF=EF；
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3这种情况下，（2）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据AE=CF可以求得BF=BE，易求得∠CBF=30°，即可解题；
（2）将Rt△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG+CF=AE+CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题；
（3）将Rt△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG-CF=AE-CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题．

解答 证明：（1）如图1中，

∵Rt△ABE和Rt△CBF中，AB=BC，CF=AE，
∴tan∠CBF=tan∠ABE，BF=BE，
∴∠CBF=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠CBF=30°，△BEF是等边三角形，
∵AE=CF=1，
∴AB=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$
（2）如图2，将Rt△ABE顺时针旋转120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，
∴BG=BE，FG=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF=60°}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；

（3）不成立，新结论为EF=AE-CF．
理由：如图3，将Rt△ABE顺时针旋转120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，FG=CG-CF=AE-CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF=60°}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE-CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，30°角所对直角边是斜边一半的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题中求证△BFG≌△BFE是解题的关键．