题目内容

20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）若现在设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元．求出y与x之间的函数关系式．
（2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？
（3）若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

分析 （1）每件衬衫的利润为（40-x）元，此时销售量为（20+2x）件，然后把它们相乘即可得到总利润y；
（2）把（1）的解析式配成顶点时，再利用二次函数的性质最大利润时x的值和最大利润，然后用最大利润减去不降价的利润800元得到多获的利润；
（3）令y=1200，解方程-2（x-15）2+1250=1200即可．

解答 解：（1）y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800；
（2）y=-2x2+60x+800
=-2（x-15）2+1250，
∵a=-2，
∴当x=15时，y有最大值1250，
即当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利（1250-20×40）=450元；
（3）当y=1200时，
则-2（x-15）2+1250=1200，解得x1=20，x2=10，
所以商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价10元或20元．

点评 本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

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