Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当⊙O半径为3，CE=2时，求BD长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出$\frac{CE}{BD}=\frac{CD}{AB}$，从而求得BD•CD=AB•CE，由BD=CD，即可求得BD²=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙0的切线；

（2）证明：∵∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，
∴△DEC∽△ADB，
∴$\frac{CE}{BD}=\frac{CD}{AB}$，
∴BD•CD=AB•CE，
∵BD=CD，
∴BD²=AB•CE，
∵⊙O半径为3，CE=2，
∴BD=$\sqrt{6×2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．