Question

如图，已知抛物线

（1）求证：无论m取什么实数，这条抛物线与x轴一定有交点。
（2）设这条抛物线与x轴的正半轴交于两点（设A点在B点的左侧），当线段AB长为3时，求这条抛物线的解析式，以及A、B两点的坐标。
（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点C，过A、B两点分别作两条直线与x轴垂直，又过点C作直线l，l与这两条直线依次交于x轴上方的E、F两点，如果梯形ABFE的面积等于9，求直线l的解析式。
（4）设线段AB上有一个动点P，P从A点出发向B点移动（但不与B重合），过P点作PM垂直x轴，交（2）中的抛物线于点M。设，问：是否存在这样的t值，使与以P、M、B为顶点的直角三角形相似？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由条件知，一元二次方程根的判别式为
                 
               ∵无论m取什么实数，都有成立，即成立
               ∴方程必定有实数根，即抛物线与x轴一定有交点。
    （2）由题意，可设，则
                由一元二次方程根与系数关系，有
                
                  
                   解得
               当时，与不符合，∴只取m=4
                 ∴所求抛物线的解析式为
                  当时，解得
                
（3）∵抛物线与y轴交于点C 
            
           ∴可设直线l的解析式为： 
            分别与x轴垂直， 可设
            都在x轴上方，
              而
             
                即
                解得
                 ∴直线l的解析式为：
（4）存在t，使与相似
  
     而
     要使与相似，应有两种可能情形：
        <1>当时，有
              即整理得
             ∵t=3时，点P与点B重合，不合题意，∴t≠3
           
           取时，符合条件
<2>当时，仍有
      即有整理，得
      解得
        当t=0或t=3时均不符合题设条件，即这种情形不可能
         综合<1><2>可知，存在t，当它的值为时，可使与相似。