题目内容
如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201112/36/1f651b01.png)
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的函数解析式;
(3)在抛物线上,是否存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)点Q是直线BC上的一个动点,若△QOB为等腰三角形,请写出此时点Q的坐标.(可直接写出结果)
分析:(1)已知了抛物线上三点的坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)已知了B、C的坐标可用待定系数法求出直线BC的解析式.
(3)由于三角形ABC和三角形PAB的面积相等,根据等底三角形的面积比等于高的比,可得出P点纵坐标的绝对值.可将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标.
(4)本题分三种情况,如下图:
①OQ=QB,此时Q在OB的垂直平分线上,因此Q点横坐标为B点横坐标的一半,然后可代入直线BC的解析式中求出Q点坐标.
②OQ=OB,此时可根据直线BC的解析式设出Q点坐标,然后用坐标系两点间距离公式表示出OQ的长,然后根据OB的长求出Q点坐标.
③OB=BQ,解法同②.
(2)已知了B、C的坐标可用待定系数法求出直线BC的解析式.
(3)由于三角形ABC和三角形PAB的面积相等,根据等底三角形的面积比等于高的比,可得出P点纵坐标的绝对值.可将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标.
(4)本题分三种情况,如下图:
①OQ=QB,此时Q在OB的垂直平分线上,因此Q点横坐标为B点横坐标的一半,然后可代入直线BC的解析式中求出Q点坐标.
②OQ=OB,此时可根据直线BC的解析式设出Q点坐标,然后用坐标系两点间距离公式表示出OQ的长,然后根据OB的长求出Q点坐标.
③OB=BQ,解法同②.
解答:解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4),![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201112/36/bd7d3ead.png)
已知抛物线过C(0,3),则有:
3=a(0+1)(0-4),a=-
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x+3
(2)设直线BC的解析式为y=kx+3,
已知直线BC过B(4,0),则有:
4k+3=0,k=-
∴直线BC的函数解析式为y=-
x+3
(3)存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积
∵△ABC的底边AB上的高为3
设△PAB的高为h,则|h|=3,则点P的纵坐标为3或-3
∴当3=-
x2+
x+3时,
得x=0,x=3;
∴点P的坐标为(0,3),(3,3),而点(0,3)与C点重合,故舍去.
当-3=-
x2+
x+3,
得x=
,x=
∴点P的坐标为:P1(3,3),P2(
,-3),P3(
,-3)
(4)Q1(2,
),Q2(
,-
),Q3(
,
),Q4(-
,
).
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201112/36/bd7d3ead.png)
已知抛物线过C(0,3),则有:
3=a(0+1)(0-4),a=-
3 |
4 |
∴抛物线的解析式为y=-
3 |
4 |
9 |
4 |
(2)设直线BC的解析式为y=kx+3,
已知直线BC过B(4,0),则有:
4k+3=0,k=-
3 |
4 |
∴直线BC的函数解析式为y=-
3 |
4 |
(3)存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积
∵△ABC的底边AB上的高为3
设△PAB的高为h,则|h|=3,则点P的纵坐标为3或-3
∴当3=-
3 |
4 |
9 |
4 |
得x=0,x=3;
∴点P的坐标为(0,3),(3,3),而点(0,3)与C点重合,故舍去.
当-3=-
3 |
4 |
9 |
4 |
得x=
3+
| ||
2 |
3-
| ||
2 |
∴点P的坐标为:P1(3,3),P2(
3+
| ||
2 |
3-
| ||
2 |
(4)Q1(2,
3 |
2 |
36 |
5 |
12 |
5 |
4 |
5 |
12 |
5 |
28 |
25 |
96 |
25 |
点评:本题考查了一次函数及二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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