Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，代入求出即可；
（2）根据令x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，所以B点坐标为（3，0），进而求出直线BC的解析式，即可得出M点的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则有：

a-b+c=0 c=-3 - b 2a =1

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
所以抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）令x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，所以B点坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

，
所以直线解析式是y=x-3．
当x=1时，y=-2．
所以M点的坐标为（1，-2）．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，求出一次函数解析式从而得出M点的坐标是解决问题的关键．