Question

17．如图，已知点P₁（2，8）在反比例函数y₁=$\frac{m}{x}$的图象上，一次函数y₂=kx+t的图象经过点P₁，并与反比例函数y₁=$\frac{m}{x}$的图象交于第一象限的点P₂（a，b）．
（1）当b=2时，①求反比例函数与一次函数的表达式；②直接写出关于x的不等式$\frac{m}{x}$＜kx+t的解集；
（2）分别过点P₁、P₂向x轴和y轴作垂线，垂足依次为A₁、B₁，A₂、B₂，分别记四边形P₁A₁OB₁、P₂A₂OB₂的周长为C₁、C₂，当a＞2时，试比较C₁和C₂的大小．

Answer 1

分析 （1）①将点P₁代入反比例函数求得其解析式，由b=2得出点P₂的坐标，根据P₁、P₂的坐标可得直线解析式；
②根据函数图象中反比例函数图象位于一次函数图象下方对应的x的范围可得；
（2）根据点P₁、P₂的坐标列出C₁-C₂关于a的解析式，再结合a的范围分类讨论可得．

解答 解：（1）①将点P₁的坐标（2，8）代入y₁=$\frac{m}{x}$，
得8=$\frac{m}{2}$，解得：m=16，
∴反比例函数的表达式为：y₁=$\frac{16}{x}$．
∵b=2，P₂（a，b）在反比例函数图象上，
∴$\frac{16}{a}$=2，解得：a=8．
将P₁（2，8）、P₂（8，2）代入y₂=kx+t，
得$\left\{\begin{array}{l}2k+t=8\\ 8k+t=2\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{t=10}\end{array}\right.$，
∴y₂=-x+10．

②不等式$\frac{m}{x}$＜kx+t的解集为x＜0或2＜x＜8．

（2）C₁=2（2+8）=20，C₂=2（a+$\frac{16}{a}$），
所以C₂-C₁=2（a+$\frac{16}{a}$）-20
=2•$\frac{{{a^2}-10a+16}}{a}$
=2•$\frac{{{{（a-5）}^2}-9}}{a}$
=2•$\frac{（a-2）（a-8）}{a}$．
∵a＞2，
∴当2＜a＜8时，C₂＜C₁；
当a=8时，C₂=C₁；
当a＞8时，C₂＞C₁．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想是解题的关键．