Question

7．如图，抛物线y=x²-4分别交x轴于A、B，交y轴于C，P为第三象限的抛物线上一点，过P点的直线y=kx-3交直线y=-2于点M，交抛物线于另一点Q，若P、Q两点关于M成中心对称，求k的值．

Answer 1

分析 y=kx-3代入y=x²-4得：x²-kx-1=0，设P、Q的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则x₁，x₂是x²-kx-1=0的解，根据根与系数的关系，以及M是PQ的对称点即可求解．

解答 解：y=kx-3代入y=x²-4得：x²-kx-1=0，
设P、Q的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则x₁，x₂是x²-kx-1=0的解．
则x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
∵P、Q关于M对称，点M的纵坐标是-2，
∴y₁+y₂=-4，
∴kx₁-3+kx₂-3=-4，
k（x₁+x₂）=2，
∴k²=2，
∴k=$±\sqrt{2}$
∵k＞0，
∴k=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程，正确理解P、Q的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则x₁，x₂是x²-kx-1=0的解是本题的关键．