题目内容

16．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4$\sqrt{2}$，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
①探究1：在运动过程中，四边形CEF′F能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．
②探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

分析 （1）由三角形的中位线定理可知：FG∥BC，且$GF=\frac{1}{2}BC$，从而得到△AGF∽△ABC，且相似比为1：2，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可知：△AGF与△ABC的面积比是1：4；
（2）①首先由特殊锐角三角函数值可求得AC的长为4，从而得到FC=2，因为FC∥EF'，CE∥FF'，四边形CEF'F是平行四边形，当CE=CF=2时，四边形CEF'F为菱形，从而可得到x=2；
②当0≤x＜2$\sqrt{2}$时，如图3所示；过点F作FM⊥BC，垂足为M，先求得FG=2$\sqrt{2}$，FM=$\sqrt{2}$，由梯形的面积公式可知S梯形G′DCF=$\frac{1}{2}（G′F+DC）•FM$=6-$\sqrt{2}x$，故此y与x的函数关系式为y=6-$\sqrt{2}x$；当2$\sqrt{2}$≤x≤4$\sqrt{2}$时，如图4所示：过点P作PM⊥BC，垂足为M，则D′C=DC-DD′=4$\sqrt{2}$-x，然后再证得PM=$\frac{1}{2}D′C$=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）$，最后由三角形的面积公式可知：△PD′C的面积=$\frac{1}{2}D′C•PM$=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8$，故此可得出y与x的函数关系式．

解答 解：（1）如图1所示：

∵G、F分别是AB和AC的中点，
∴FG∥BC，且$GF=\frac{1}{2}BC$．
∴△AGF∽△ABC，且$\frac{GF}{BC}=\frac{1}{2}$．
由相似三角形的面积比等于相似比的平方可知：△AGF与△ABC的面积比是1：4．
（2）①能为菱形．
理由：如图2所示：

∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°．
∵cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AC}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AC=4．
∴CF=2．
∵FC∥EF'，CE∥FF'，
∴四边形CEF'F是平行四边形．
∴当$CE=CF=\frac{1}{2}AC=2$时，四边形CEF'F为菱形，
∴x=2．
∴当x=2秒时，四边形CEF'F为菱形；
②当0≤x＜2$\sqrt{2}$时，如图3所示；过点F作FM⊥BC，垂足为M．

∵$GF=\frac{1}{2}BC$
∴FG=2$\sqrt{2}$．
∵FC=2，∠FMC=90°，∠FCB=45°，
∴sin45°=$\frac{FM}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{FM}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴FM=$\sqrt{2}$．
S梯形G′DCF=$\frac{1}{2}（G′F+DC）•FM$=$\frac{1}{2}（2\sqrt{2}-x+4\sqrt{2}-x）×\sqrt{2}$=6-$\sqrt{2}x$，
∴y与x的函数关系式为y=6-$\sqrt{2}x$；
当2$\sqrt{2}$≤x≤4$\sqrt{2}$时，如图4所示：过点P作PM⊥BC，垂足为M．

D′C=DC-DD′=4$\sqrt{2}$-x，
∵△PDC为等腰直角三角形，PM⊥D′C，
∴PM=$\frac{1}{2}D′C$=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）$．
∴△PD′C的面积=$\frac{1}{2}D′C•PM$=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）×\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）$=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8$．
∴y与x的函数关系式为y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8$．
综上所述，y与x的函数关系为y=6$\left\{\begin{array}{l}{6-\sqrt{2}x（0≤x＜2\sqrt{2}）}\\{\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8（2\sqrt{2}≤x≤4\sqrt{2}）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的性质、平移的性质以及三角形和梯形的面积公式的综合应用，利用含x的代数式，表示出梯形和三角形的底和高的长度是解题的关键．

练习册系列答案
相关题目
6．若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x+$\frac{1}{3}$＞y+$\frac{1}{3}$B．x-3＞y-3C．$\frac{x}{3}$＞$\frac{y}{3}$D．-3x＞-3y
7．镇江市教育局为帮助全市贫困师生举行“一日捐”活动，甲、乙两校教师各捐款60000元，已知“…”，设乙学校教师有x人，则可得方程$\frac{60000}{x}$-$\frac{60000}{（1+20%）x}$=20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补（　　）
A．乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
B．甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%
C．甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
D．乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%
4．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A．B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE、DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求证：△PAD∽△FBP；
（3）求∠CBE的度数．
11．△ABC中，AD是BC边上中线，E为AD上一点，BE的延长线交AC于F，交AB的平行线CG于G．证明：BE2=EF•EG．
1．如图，已知：矩形ABCD中，AD=12，DC=10，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，点G以2cm/s的速度从D点向C点运动．

（1）若点H是AD上一定点，且AH=2，当运动时间t=1时，四边形EFGH的形状是正方形．
（2）若点H是AD上一定点，且AH=2，点G点运动多长时间后，AE的长度为8？
（3）如图2，若点H同时也在从A向D以1cm/s的速度运动，连接BF，假设运动的时间为t，求出t为何值时△BEF的面积为25．
8．我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于800元但低于1300元的部分征收5%的所得税…如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160-800）×5%=18（元）
①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式y=0.05x-40；
②某人某月收入为960元，他应缴所得税8元；
③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是1184元．
5．下列说法中正确的是（　　）
A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2+b2=c2
B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方
C．在Rt△ABC中，若∠C=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c2
D．在Rt△ABC中，若∠A=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c2
6．如图，有一张纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网