Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=4，AE=6，tan∠BOD=$\frac{2}{3}$．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AC，在直角三角形ADO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠AOD及AD的值，求出OD的值即可；
（2）连接OE，由CE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证．

解答 解：（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB
在Rt△BDO中，BD=4，tan∠BOD=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{2}{3}$，
∴OD=6；                                 

（2）连接OE，
∵AE=OD=6，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE为圆的半径，
∴AC为圆O的切线；

点评 此题考查了切线的判定与性质，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．