Question

15．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，将平行四边形ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE．则下列结论中：①DF=BE②∠ACD=∠ACE．③OG=$\frac{1}{2}$AE④S_△CBE=$\frac{1}{6}$S_{四边形ABCD}，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠FCO=∠EAO，由折叠的性质得得到AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，根据全等三角形的性质得到AE=CF，求得DF=BE，故①正确；∠ACF=∠ACE，故②正确；根据直角三角形的性质得到OG=$\frac{1}{2}$AE，故③正确；只有当E是AB的3等分点时，S_△BCE=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{6}$S_{四边形ABCD}，而BE不一定等于$\frac{1}{3}$AB，于是得到S_△CBE不一定$\frac{1}{6}$S_{四边形ABCD}，故④错误，

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠FCO=∠EAO，
由折叠的性质得，AO=CO，
∠AOE=∠COF=90°，
在△AOE与△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EOA=∠FOC}\\{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴DF=BE，故①正确；
∵△AOE≌△COF，
∴OF=OE，
∴CF=CE，
∴∠ACF=∠ACE，故②正确；
∵∠FOC=90°，G为CF的中点，
∴OG=$\frac{1}{2}$CF，
∴OG=$\frac{1}{2}$AE，故③正确；
∵只有当E是AB的3等分点时，S_△BCE=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{6}$S_{四边形ABCD}，
而BE不一定等于$\frac{1}{3}$AB，
∴S_△CBE不一定$\frac{1}{6}$S_{四边形ABCD}，故④错误，
故选C．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．