Question

13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AM是过点A的任意一条直线，BD⊥AM于点D，CE⊥AM于点E，求证：DE=BD-CE．

Answer 1

分析 先根据垂直的定义得到∠AEC=∠BDA=90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE，于是有BD-CE=AE-AD=DE．

解答 证明：∵CE⊥AM，BD⊥AM，
∴∠AEC=∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}&{\;}\\{∠ADB=∠CEA}&{\;}\\{AB=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD-CE=AE-AD=DE，
即DE=BD-CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键，注意数形结合思想的运用．