题目内容
10．（1）如图甲，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A有一条直线l，且点B，C在AE的同侧，作BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，则DE=BD+CE，请说明理由．（2）若将直线l绕点A旋转到图乙的位置，此时BD＞CE，其余条件不变，则DE，BD，CE之间显然还有DE=BD+CE的关系，若将直线l绕点A继续旋转到图丙的位置，其余条件不变，上述关系还成立吗？从图形直观来看，是不成立的，那么DE，BD，CE三条线段之间又有怎样的关系呢？请你试着写出成立的关系式．
分析 （1）由条件可以得出∠D=∠E=90°，∠4=∠3，就可以证明△ADB≌△CEA就可以得出BD=AE，AD=CE，由DE=AD+AE就可以得出结论；
（2）由条件可以得出∠ADB=∠CEA=90°，∠1=∠3，再由AB=AC就可以得出△ADB≌△CEA，就可以得出BD=AE，AD=CE，由AE=AD+DE就可以得出BD=CE+DE．
解答 解：（1）如图甲，∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∵∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{∠4=∠3}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）BD=DE+CE
理由：如图丙，
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠1．
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠3=∠1}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE．
∵AE=AD+ED，
∴BD=DE+CE．
点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是解答本题的关键．
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