Question

16．如图，在△ABC中，D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BD=BE，CE=CF，连接BF，CD相交于点P，BF，CD恰好是△ABC的角平分线．
（1）求证：PD=PF；
（2）求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，再利用“边角边”证明△BDP和△BEP全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，同理可得PE=PF，然后等量代换即可得证；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BPD=∠BPE，同理可得∠CPE=∠CPF，从而得到∠BPC=2∠BPD，再根据平角等于180°列方程求出∠BPD=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PBC+∠PCB，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB，然后利用三角形的内角和等于180°列式求解即可．

解答 （1）证明：∵BF是△ABC的平分线，
∴∠ABP=∠CBP，
在△BDP和△BEP中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BDP≌△BEP（SAS），
∴PD=PE，
同理可得PE=PF，
∴PD=PF；

（2）∵△BDP≌△BEP，
∴∠BPD=∠BPE，
同理可得∠CPE=∠CPF，
∵∠BPD=∠CPF（对顶角相等），
∴∠BPD=∠BPE=∠CPE=∠CPF，
∴∠BPC=2∠BPD，
∵∠BPC+∠BPD-180°，
∴∠BPD=60°，
由三角形的外角性质得，∠BPD=∠PBC+∠PCB=60°，
∵BF，CD恰好是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×60°=120°，
在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-120°=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，（2）要注意整体思想的利用．