Question

11．如图①所示．以Rt△ABC的三边为直径分别作三个半圆．已知以AC为直径的半圆的面积为S₁．以BC为直径的半圆的面积为S₂
（1）求以AB为直径的半圆的面积S；
（2）如果将图中半圆改为分别以Rt△ABC的三边为斜边的等腰直角三角形，如图②所示．那么图（1）中的结论是否仍成立？为什么？

Answer 1

分析 （1）如图1，设AC=λ，BC=μ，AB=γ；由勾股定理得：λ²+μ²=γ²；证明S₁+S₂=$\frac{π}{8}$（λ²+μ²），S=$\frac{π{γ}^{2}}{8}$，即可解决问题．
（2）如图2，设AC=λ，BC=μ，AB=γ；首先证明λ²+μ²=γ²；其次证明S₁+S₂=$\frac{1}{4}$（λ²+μ²），S=$\frac{π{γ}^{2}}{4}$，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，设AC=λ，BC=μ，AB=γ；
∵△ABC为直角三角形，
∴λ²+μ²=γ²；
∵S₁+S₂=$\frac{π}{8}$（λ²+μ²），S=$\frac{π{γ}^{2}}{8}$，
∴S=S₁+S₂．

（2）如图2，设AC=λ，BC=μ，AB=γ；
∵△ABC为直角三角形，
∴λ²+μ²=γ²；
∵△ABG为等腰直角三角形，
∴2AG²=AB²，即AG²=$\frac{1}{2}$γ²，
∴S=$\frac{1}{2}$AG²；同理可求：
S₁+S₂=$\frac{1}{4}$（λ²+μ²），S=$\frac{π{γ}^{2}}{4}$，
∴S=S₁+S₂．
即（1）中的结论仍然成立．

点评 此题主要考查了勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．