题目内容
8．已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B（3，0）两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x=1，如图1．（1）求抛物线l的解析式；
（2）将抛物线l向下平移d个单位长度，使平移后所的抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求d的取值范围；
（3）如图2，设点P是抛物线l上任意一点，点D在直线x=-3上，问是否存在这样的点P，使得△PBD是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）利用抛物线的对称性可求得点A的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入可求得a的值；
（2）先求得直线BC的解析式，然后求得当x=1时，对应的函数值，平移后抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4-d．抛物线的顶点在△OBC的内部（包括△OBC的边界），则0≤4-d≤2；
（3）过点P作PE⊥y轴，交直线x=-3与点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F．先证明△EPD≌△FBP，依据全等三角形的性质可得到EP=FB．设点P的坐标为（x，-x2+2x+3），则PE=x+3，FB=|-x2+2x+3|，然后依据PE=FB可得到关于x的方程，然后可求得x的值，从而可得到点P的坐标．
解答 解：（1）∵B（3，0），对称轴为直线x=1，
∴A（-1，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入得：-3a=3，解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为y=kx+3，将点B的坐标代入得：3k+3=0，解得k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
当x=1时，y=2．
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴平移后抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4-d．
∵抛物线的顶点在△OBC的内部（包括△OBC的边界），
∴0≤4-d≤2，
∴2≤d≤4．
（3）如图：过点P作PE⊥y轴，交直线x=-3与点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F．
∵△BPD是以P为顶点的等腰直角三角形，
∴∠DPB=90°，DP=PB．
∴∠EPD+∠FPB=90°．
又∵∠EPD+∠EDP=90°，
∴∠FPB=∠EDP．
在△EPD和△FBP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FPB=∠EDP}\\{∠PED=∠PFB}\\{DP=PB}\end{array}\right.$，
∴△EPD≌△FBP．
∴EP=FB．
设点P的坐标为（x，-x2+2x+3），则PE=x+3，FB=|-x2+2x+3|，
∴x+3=|-x2+2x+3|．
∴x+3=-x2+2x+3或x+3=x2-2x-3．
解得：x=0或x=1或x=$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$或x=$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$．
当x=0时，y=3，
∴P（0，3）．
当x=1时，y=4．
∴P（1，4）．
当x=$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$时，y=$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$，
∴P（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$）．
当x=$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$时，y=$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$．
∴P（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$）．
综上所述，点P的坐标为P（0，3）或P（1，4）或P（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$）或P（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$）．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定，构造全等三角形，利用PE=BF列出关于x的方程是解题的关键．
如图，P为⊙O外一点，BC是⊙O的直径，CA为⊙O的一条弦，连接PA、PB，∠PBA=∠C．
以A为圆心，半径为9的四分之一圆，与以C为圆心，半径为4的四分之一圆如图所示放置，且∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积为$\frac{97}{4}$π-36．