Question

如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（4分）

（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（不写出作法，留作图痕迹）；（3分）

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．（3分）

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，

∴CD=AB，

∴CD=BD，

∴∠BCE=∠ABC，

∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠ACB，

∴△BCE∽△ABC，

∴E是△ABC的自相似点；（4分）

（2）①如图所示，

作法：①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，

②在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，

则P为△ABC的自相似点；（3分）

②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，

∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，

∴∠A+2∠A+4∠A=180°，

∴∠A=，

∴该三角形三个内角度数为：，，．（3分）