Question

6．如图，点D是△ABC中AB边上的一个动点，点D关于AC，BC对称点分别是点E和点F，∠A=45°，∠B=75°，AC=8，则EF的最小值是（　　）

• A． 4$\sqrt{6}$
• B． 8
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先连接CD，CE，CF，根据点D关于AC，BC对称点分别是点E和点F，得出△CEF是等腰三角形，再根据∠A=45°，∠B=75°，求得∠ACB=60°，∠ECF=120°，∠CEF=∠CFE=30°，根据垂线段最短求得CD的长，最后过点C作CG⊥EF，在等腰三角形ECF中，根据EF=2EG，求得EF．

解答 解：如图，连接CD，CE，CF，
∵点D关于AC，BC对称点分别是点E和点F，
∴CE=CD=CF，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠ECF，
∴△CEF是等腰三角形，
∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，
∴∠ECF=120°，∠CEF=∠CFE=30°，
∴当CE，CF最短时，EF最短，
∵当CD⊥AB时，CD最短，而AC=8，
∴Rt△ACD中，CD=4$\sqrt{2}$，
∴CE=CD=CF=4$\sqrt{2}$，
过点C作CG⊥EF，则等腰三角形ECF中，EF=2EG，
∵Rt△CEG中，CG=$\frac{1}{2}$CE=2$\sqrt{2}$，
∴EG=2$\sqrt{6}$，
∴EF=2EG=4$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形和直角三角形，根据垂线段最短进行判断．