Question

在△ABC中，已知BA=BC，点P在边AB上，联结CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD交于点E，∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）如图（1），求证：∠EAP=∠EPA；
（2）如图（2），若点F是BC中点，点M、N分别在PA、FP延长线上，且∠MEN=∠AEP，判断EM和EN之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），若DC=1，CP=3，在线段CP上任取一点Q，联结DQ，将△DCQ沿直线DQ翻折，点C落在四边形APCD外的点C′处，设CQ=x，△DC′Q与四边形APCD重合部分的面积为y，写出y与x的函数关系式及定义域．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：常规题型

分析：（1）利用等腰三角形的性质可知∠ACB=∠CAB，再由三角形内角和定理即可证出∠AEP=∠EAP；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，得出△EAM≌△EPN，
（3）利用△DC′Q≌△QFD，求出C′Q=FD，DQ=x-

x2-1

2x

，再求出y=（x-

x2-1

2x

）×1÷2．

解答：（1）证明：在△ABC和△AEP中
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP
∴∠ACB=∠APE
∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠AEP+∠EAP+∠EPA=180°，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）解：∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
则AC=PD，
∴?APCD是矩形．
∵EA=EP，
∴∠EPA=

180°-∠AEP

2

=

180°-∠ABC

2

=90°-

1

2

α
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α
由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-

1

2

α+α=90°+

1

2

α
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN，即∠MEA=∠NEP，
在△EAM和△EPN中，

∠EAM=∠EPN EA=EP ∠MEA=∠NEP

∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．

（3）解：作QF⊥AD垂足为F，

∵DC=1
∴FQ=1
由△DCQ沿直线DQ翻折得到△DC′Q
∴∠C′=90°   C′Q=CQ   
由C′D=FQ
设QF=a由（x-a）²=a²+1²
∴a=

x2-1

2x

DQ=x-

x2-1

2x

∴y=（x-

x2-1

2x

）×1÷2
y=

1

4

x+

1

x

x的定义域为：0＜x＜1．

点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的综合运用．