Question

如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中间G处，求：
（1）线段BE的长
（2）四边形BCFE的面积．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）由折叠的性质可得CF=HF，BE=GE，设BE=GE=x，则AE=4-x，在Rt△AEG中利用勾股定理求出x的值；
（2）四边形BCFE是梯形，要求其面积需要得出CF的长，可通过求出FH的长度，进行求解．

解答：解：（1）由题意，点C与点H，点B与点G分别关于直线EF对称，
∴CF=HF，BE=GE，
设BE=GE=x，则AE=4-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴AE²+AG²=EG²，
∵B落在边AD的中点G处，
∴AG=2，
∴（4-x）²+2²=x²，
解得：x=2.5，
∴BE=2.5．

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠B=90°，
∵点E，F分别在AB，CD边上，
∴四边形BCFE是直角梯形，
∵BE=GE=2.5，AB=4，
∴AE=1.5，
∴sin∠1=

3

5

，tan∠1=

3

4

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．
∴sin∠3=sin∠1=

3

5

，
在Rt△DGP中，∵∠D=90°，
DG=2，sin∠3=

DG

GP

=

3

5

，
∴PG=

10

3

，
∴PH=GH-GP=

2

3

，
∵∠4=∠3，
∴tan∠4=tan∠3=tan∠1=

3

4

，
在Rt△HPF中，∵∠H=∠C=90°，
∴FC=HF=

1

2

，
∴S_{四边形BCFE}=

1

2

（FC+BE）×BC=

1

2

×（

1

2

+2.5）×4=6．

点评：本题考查了翻折变换的知识，注意掌握翻折前后对应边相等，对应角相等，难点在第二问，注意利用三角函数求解线段长度．