Question

13．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是$\frac{1}{1×2}$；
第二个数是$\frac{1}{2×3}$；
第三个数是$\frac{1}{3×4}$；
…
（1）经过探究，我们发现：$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，设这列数的第5个数为a，那么a＞$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，a=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，a＜$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，哪个正确？请你直接写出正确的结论：
（2）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$；
（3）设M=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{201{7}^{2}}$，求证：$\frac{504}{1009}$＜M＜$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以判断哪个结论正确；
（2）根据题意可以计算出所求式子的结果；
（3）根据题意可以利用前面的结论证明结论成立．

解答 解：（1）由题意可得，
第5个数为a=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$正确；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$；
（3）证明：∵$\frac{1}{2×3}＜\frac{1}{{2}^{2}}＜\frac{1}{1×2}$，
$\frac{1}{3×4}＜\frac{1}{{3}^{2}}＜\frac{1}{2×3}$，
…
$\frac{1}{2017×2018}＜\frac{1}{201{7}^{2}}＜\frac{1}{2017×2016}$，
∴$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2017×2018}＜M＜$$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{2016×2017}$，
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}＜M＜$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$，
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{2018}＜M＜1-\frac{1}{2017}$，
∴$\frac{504}{1009}＜M＜\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．