题目内容

如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0， $数学公式$ ），B（ $数学公式$ ， $数学公式$ ），C（1，0），∠ABC=90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0， $数学公式$ ），以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B'，求证：四边形AOCB'是矩形，并判断点B'是否在（1）的抛物线上．
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+ $\text{[math]}$ ，
∵B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在抛物线上，
∴把B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入y=ax²+ $\text{[math]}$
得a= $\text{[math]}$ ．
∴抛物线解析式为y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ ．

（2）∵点B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），A（0， $\text{[math]}$ ），
∴CB= $\text{[math]}$ ，
∴CB'=CB=OA．
又CA= $\text{[math]}$ =2
∴AB= $\text{[math]}$ =1
∴AB'=AB=OC．
∴四边形AOCB'是矩形．
∵CB'= $\text{[math]}$ ，OC=1，
∴B'点的坐标为（1， $\text{[math]}$ ）．
∵当x=1时，代入y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ 得y= $\text{[math]}$ ，
∴B'（1， $\text{[math]}$ ）在抛物线上．

（3）存在．
理由是：设BA的解析式为y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵P，F分别在直线BA和抛物线上，且PF∥AD，
∴设P（m， $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ ），F（m， $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ ）
PF=（ $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ ），AD= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
如果PF=AD，则有
=（ $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
解得m₁=0（不符合题意舍去），m₂= $\text{[math]}$ ．
∴当m= $\text{[math]}$ 时，PF=AD，
存在四边形ADFP是平行四边形．
当m= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴P点的坐标是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）设抛物线解析式，因点B在抛物线上面，代入求出抛物线解析式；
（2）△ABC沿AC折叠，要用到点的对称，得到B′的坐标然后验证是否在抛物线上；
（3）假设存在，设直线BA的解析式，根据B、A坐标解出直线BA的解析式，用m表示出P点坐标，因为PF=AD可以得到P点坐标．
点评：考查待定系数求抛物线解析式，折叠图形的对称问题，辅助线的作法也很独特，考查的知识点很全面，是一道综合性题型．