Question

过反比例函数图象上一点P（1，2ⁿ）作图象的切线（与图象只有一个交点的直线），交x轴于点A₁，过A₁作x轴的垂线交反比例函数图象于点P₁，过点P₁作图象的切线交x轴于点A₂，过A₂作x轴的垂线交反比例函数图象于点P₂，以此类推，可以找到无数个P点．
（1）当n=5时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有    个；
（2）当n=2011时，属于整点的点P有    个，最后一个整点P的坐标是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）当n=5时，可知点P的坐标为（1，2⁵），并由此求出函数的解析式，找到横纵坐标乘积等于2⁵的点的坐标即可；
（2）当n=2011时，此时可知点P的坐标为（1，2²⁰¹¹），并由此求出函数的解析式，找到横纵坐标乘积等于2²⁰¹¹的点的坐标即可；
解答：解：（1）当n=5时P的坐标为（1，2⁵），
∴反比例函数的解析式为：y=，
∴属于整点的点的坐标为：（1，2⁵）、（2，2⁴）、（2²，2³）、（2³，2²）、（2⁴，2）、（2⁵，1）六个，
∴当n=5时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有6个；

（2）当n=2011时P的坐标为（1，2²⁰¹¹），
∴反比例函数的解析式为：y=，
∴属于整点的点的坐标为：（1，2²⁰¹¹）、（2，2²⁰¹⁰）、（2²，2²⁰⁰⁹）…（2²⁰⁰⁹，2²）、（2²⁰¹⁰，2）、（2²⁰¹¹，1）2012个，
∴当n=2011时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有2012个，最后一个点的坐标为（2²⁰¹¹，1）．
点评：本题考查了反比例函数的知识，解题的关键是根据n的取值确定函数的解析式，为确定整点坐标奠定基础．