Question

18．如图所示，在△ABC中，BP和CP是角平分线，两线交于点P，试探求下列各图中∠A与∠P之间的关系，并选择一个加以证明．

（1）图1中∠P与∠A之间的关系：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）图1中∠P与∠A之间的关系：∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）图1中∠P与∠A之间的关系：∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得出∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，求出∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据角平分线定义得出∠ACD=2∠PCD，∠ABC=2∠PBC，根据三角形外角性质得出∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，求出∠ACD=2∠PCD=2∠P+∠ABC，即可得出答案；
（3）根据角平分线定义得出∠PBC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ECB，求出∠DBC+∠ECB=180°+∠A，求出∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB=90°+$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理求出即可．

解答 解：（1）∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
理由是：∵BP和CP是角平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
故答案为：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（2）∠A=2∠P
理由是：∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠PCD，∠ABC=2∠PBC，
∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ACD=2∠PCD=2∠P+∠ABC，
∴∠A=2∠P，
即∠P=$\frac{1}{2}$∠A，
故答案为：∠P=$\frac{1}{2}$∠A；

（3）∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
理由是：∵BP、CP分别平分∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ECB，
∴∠DBC+∠ECB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
故答案为：∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．