Question

【题目】已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D.

(1)求证：△ACB∽△CDB；

(2)若⊙O的半径为1，∠BCP＝30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）由CP是⊙O的切线， AB是直径，得出∠BCD=∠BAC，∠ACB=90°，进而得到∠ACB=∠CDB=90°，即可得出结论；

（2）求出△OCB是正三角形，根据阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB计算即可．

（1）如图，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，∴∠BCD+∠OCB=90°，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°

∴∠BCD=∠ACO，

又∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠BCD=∠BAC，

又∵BD⊥CP，

∴∠CDB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°，

∴△ACB∽△CDB；

（2）如图，连接OC，

∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，∴∠OCB=90°－∠BCP=60°．∵OC=OB，∴△OCB是正三角形．

∵⊙O的半径为1，∴S△OCB=，S扇形OCB==π，

故阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．