Question

在△ABC中，AB=AC，点P△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F
（1）当点P在BC边上（如图1）时，请你探索线段PD，PE，PF，AB与之间的数量关系，并给出证明；
（2）当点P在△ABC内（如图2）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．
（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；
（2）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠CDF，然后求出∠C=∠CDF，再根据等角对等边可得CF=PD+PF，然后求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE=AF，然后求出PD+PE+PF=AC，等量代换即可得证；
（3）证明思路同（2）．

解答：（1）答：PD+PE+PF=AB．
证明如下：∵点P在BC上，
∴PD=0，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PFAE是平行四边形，
∴PF=AE，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠C，
∴∠B=∠BPE，
∴PE=BE，
∴PE+PF=BE+AE=AB，
∵PD=0，
∴PD+PE+PF=AB；

（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PF∥AB，
∴∠B=∠CDF，
∴∠C=∠CDF，
∴CF=PD+PF，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PFAE是平行四边形，
∴PE=AF，
∴PD+PE+PF=AC，
∴PD+PE+PF=AB；

（3）证明：同（2）可证DF=CF，PE=AF，
∵AF+CF=AC，
∴PE+PF-PD=AC，
∴PE+PF-PD=AB．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定方法与性质，并准确识图理清图中边的关系是解题的关键，此类题目，关键在于后面小题与前面小题的求解思路相同．