如图1.在△OMN中.∠MON=90°.OM=6cm.∠OMN=30°．等边△ABC的顶点B与点O重合.BC在OM上.点A恰好在MN上．(1)求等边△ABC的边长,(2)如图2.将等边△ABC沿OM方向以1cm/s的速度平移.边AB.AC分别与MN交于点E.F.在△ABC平移的同时.点P从△ABC的顶点B出发.以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动.当点P达到点C时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图1，在△OMN中，∠MON=90°，OM=6cm，∠OMN=30°．等边△ABC的顶点B与点O重合，BC在OM上，点A恰好在MN上．

（1）求等边△ABC的边长；
（2）如图2，将等边△ABC沿OM方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s）
①用含t的代数式表示AE的长，并写出t的取值范围；
②在点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，点P、E、F组成的三角形为等腰三角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据，∠OMN=30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．
（2）①由直角三角形的性质得出ON=2$\sqrt{3}$，MN=4$\sqrt{3}$．证明△OMN∽△BEM，得出对应边成比例，得出BE，即可得出AE的长，容易得出t的取值范围；
②△PEF为等腰三角形，分情况讨论，求出t的值，如果在0＜t＜3这个范围内就存在，否则就不存在．

解答解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
又∵∠OMN=30°
∴∠OAM=90°，OA⊥MN，
即△OAM为直角三角形，
∴OA=$\frac{1}{2}$OM=3cm，
即等边△ABC的边长为3cm．
（2）①∵BM=6-t，OM=6cm，∠OMN=30°，
∴ON=2$\sqrt{3}$，MN=4$\sqrt{3}$．
∵∠M=∠M，∠N=∠MBE=60°，
∴△OMN∽△BEM，
∴$\frac{BM}{MN}=\frac{BE}{ON}$，
即$\frac{6-t}{4\sqrt{3}}=\frac{BE}{2\sqrt{3}}$，
∴BE=$\frac{6-t}{2}$，
∴AE=AB-BE=$\frac{t}{2}$（0≤t≤3）；
②存在；理由如下：
分4种情况：
（a）当点P在线段AB上时，点P在AB上运动的时间0≤t≤$\frac{3}{2}$，
∵△PEF为等腰三角形，∠PEF=90°
∴PE=EF，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$（3-BE）=$\sqrt{3}$（3-$\frac{6-t}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴$\frac{6-5t}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t或$\frac{5t-6}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得t=$\frac{15-3\sqrt{3}}{11}$或$\frac{15+3\sqrt{3}}{11}$＞$\frac{3}{2}$（故舍去），
（b）当点P在AF上时，
若PE=PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，
此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，
∴PF=AP=2t-3，
∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，
∴0＜t＜3，在直角三角形中，cos30°=$\frac{\frac{EF}{2}}{PF}$=$\frac{\sqrt{3}t}{8t-12}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t=2，
若FE=FP，
AF=$\frac{EF}{cos∠AFE}$=$\frac{EF}{cos30°}$=t，
则t-（2t-3）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得：t=12-6$\sqrt{3}$；
（c）当PE=EF，P在AE上时无解，
（d）当P点在CF上时，AP=2t-3，AF=t，则PF=AP-AF=t-3=EF，所以t-3=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
解得 t=12+6$\sqrt{3}$＞3，不合题意，舍去．
综上，存在t值为$\frac{15-3\sqrt{3}}{11}$或12-6$\sqrt{3}$或2时，△PEF为等腰三角形．